Innhold
Vår moderne forståelse av kardinalitet kommer fra Georg Cantors arbeid på 1890-tallet. Sett kan ha tre typer kardinal: Endelig, tellbar og utallige. Endelige sett kan ha et spesifikt nummer tildelt, for eksempel deres kardinalitet: antall elementer i settet. Både tellbare og utallige sett er uendelige. Cantor var den første matematiker som påpekte at karakteristikken til et uendelig sett er at det kan settes inn i en en-til-en korrespondanse, med sin egen delmengde av seg selv.
retninger
-
Gi et bestemt tall for et sett av kardinalitet hvis det er begrenset. For disse settene er kardinalitet antall gjenstander i den. For uendelig er det umulig å angi et bestemt tall for kardinalitet - vi kan bare bruke et beskrivende ord. En delmengde av et sett er en som inneholder noen - men ikke alle - av de angitte tallene, men ingen som ikke er innenfor det. For eksempel er en delmengde bokstaver i det portugisiske alfabetet bokstavene i ordet "banan". For endelige sett er de riktige delminnene mindre enn settet. Det er ikke sant for uendelige sett.
-
Start med et bestemt element i settet og hold evig, for en bestemt måte, til å oppregne alle elementene i et sett. Dette er definisjonen av regnskap for et uendelig sett. Nøkkelfunksjonen er at det finnes en algoritme for å liste alle elementer evig. Det arketypiske tellbare uendelige settet er det for heltall. Start med "en" og fortsett med neste sekvensielt nummer. Du kan ikke gi et kardinalnummer, du vil bare si at det er evig. Merk at for hvert heltall er det et tilsvarende jevnt tall som vil være dobbelt så stort. Det er så mange heltall som det er like tall. Det er en en-til-en-kamp mellom settet og en riktig delmengde av det settet.
-
Sammenlign et sett med tallene mellom null og en, for å se om det er utallige uendelige. Du kan ikke begynne å telle dem fordi det ikke er noen "neste" nummer etter et tall mellom null og en. Cantor ga et eksempel for å hjelpe med den intuitive forståelsen av utallige sett: poeng og linjer. Poengene er ikke lange eller brede, selv om en linje består av poeng. Hvis linjene er en uendelig poeng, vil linjelengden være 0 + 0 + 0 og så videre, for alltid. Linjene må ha et utallige antall poeng.
tips
- Cantor testen er å se om to sett har samme kardinalitet, hvis elementene i settet kan matches en etter en med den andre.
advarsel
- Aritmetikk vil bare fungere for endelige sett. Hvis N begge er tellbare og utallige uendelig, N + 1 = 200N = N + N = N.